MLG-7, Kapitel 7: Stereometrie » Kugelsegmente und Kappen

Hallo Herr Ziebarth,
meine Frage bezieht sich auf Aufgabe 7.201 im Kapitel 7 Stereometrie auf Seite 732 in MLG-8:
Hier sind die Größe der Kugelsegmente und der dazugehörigen Kappen bei einem Verhältnis des Kugeldurchmessers von x:y= m:n gefragt. Ich kann die angegebene Lösung hier nicht nachvollziehen, ich habe als Lösung einfach die Abschnitte m und n in die Volumengleichung für Kugelsegmente bzw. die Flächengleichung für Kappen eingesetzt:
Vm= pi/3*m²*(3r-m) bzw. Vn= pi/3*n²*(3r-n) und Am= 2pi*r*m bzw. An= 2pi*r*n.
Können Sie mir hier weiterhelfen wie die im Lösungsteil angegebene Lösung zustandekommt?

Vielen Dank,
mit freundlichen Grüßen

Hallo Michi,

[1] Der Durchmesser |AB| = 2r wird durch die Schnittebene in die beiden Segmenthöhen x und y aufgeteilt:
x + y = 2r --> (1a) y = 2r - x

[2] Dabei stehen x, y in einem bekannten Verhältnis; m, n sind gegebene Zahlen, deren Wert hier aber nicht näher genannt wird:
(2a) x:y = m:n

[3] Setze (1a) in (2a) ein und löse nach x auf: (3a) x = ...

[4] Setze x aus (3a) für die Segmenthöhe h in
- die Volumenformel 7.27 für das Kugelsegment bzw.
- Formel 7.30 für die Fläche der Kugelkappe ein.

Verfahre analog für das andere Segment, indem (1a) nach x und (3a) nach y aufgelöst und dann für die Höhe h verwendet wird.

Vielen Dank für den Hinweis,

ich hatte einfach das Verhältnis von m:n nicht in meinen Ansatz mit einbezogen!

Grüße,
Michi