MLG-7, Kapitel 5: Planimetrie » gleichseitige Dreiecke im Quadrat

Hallo Herr Ziebarth,
ich verwende die 8. Auflage. Meine Frage bezieht sich auf Aufgabe 5.148 auf Seite 611 im Kapitel 5. Planimetrie:
Hier ist in der Lösung der folgende relativ komplizierte Ausdruck angegeben: A=a²(4*Wurzel(2(2-Wurzel(3))+6-5*Wurzel(3)) = ungefähr 6,7 cm². Nun bin ich diese Aufgabe über zwei gleichseitige Dreiecke mit ihren jeweiligen Seiten als die Grundlinien g1 und g2 des Trapezes auf der einen Seite der Diagonalen des Quadrates angegangen. Die Höhe dieses Trapezes habe ich ebenfalls über die Hälfte der Diagonalen des Quadrates minus der Höhe des kleinsten oberen gleichseitigen Dreiecks berechnet. Ich komme so auf die wesentlich einfachere Lösungsformel: a²(2-Wurzel(3)), welche mir exakt das Ergebnis wie im Lösungsteil angegeben liefert. Für die Seite b des gleichseitigen Dreiecks habe ich die Beziehung b=a*(Wurzel(6)-Wurzel(2)) wie auf Seite 573 im Beispiel 5.31 verwendet.
Daher meine Frage: Habe ich hier einen einfacheren Weg gefunden als der im Buch verwendete, also ohne Strahlensatz und Ähnlichkeit? Mein Weg funktioniert dann ebenfalls für jedes beliebige a des Quadrates.
Viele Grüße,
Michi

Hallo Herr Zierbarth,
ich habe hier zur Veranschaulichung meiner Vorgehensweise noch ein Bild eingefügt welche beiden Grundlinien des Trapezes ich meinte. Die Länge dieser beiden Linien habe ich jeweils über die Höhe der dazugehörigen gleichseitigen Dreiecke berechnet, einmal ist das die Hälfte der Diagonalen des Quadrates und bei der zweiten die Diagonale des Quadrates minus der Höhe des großen gleichseitigen Dreiecks. Diese beiden Linien dann addiert und mit der Höhe malgenommen und mal zwei. Die Höhe des Trapezes habe ich ebenfalls aus den entsprechenden Höhen der gleichseitigen Dreiecke gewonnen.