Gleichschenkliges Dreieck Flächeninhalte

Hallo Herr Ziebarth,
ich verwende die 8. Auflage des Buches. Meine Frage bezieht sich auf Aufgabe 5.84 auf Seite 604 im Kapitel 5, Planimetrie:
Hier wird von einem gleichschenkligen Dreieck parallel zu einem Schenkel ein Streifen abgeschnitten und die Flächeninhalte des ursprünglichen und des verkleinerten Dreiecks sind zu bestimmen. Ich komme hier nicht auf den Ansatz um den Flächeninhalt des verkleinerten Dreiecks zu bestimmen, meine Idee ist vom ursprünglichen Dreieck die Fläche eines Trapezes abzuziehen. Nur kann ich die Mittellinie m des Trapezes nicht bestimmen da ich die Länge c nicht kenne. Können Sie mir hier bitte mit einen Ansatz zur Bestimmung der Fläche des verkleinerten Dreiecks weiterhelfen?
Vielen Dank,
mit freundlichen Grüßen
Michi

Hallo Michi,
es gibt eine relativ einfache Lösung, die die Autoren der Aufgabe damals aber nicht angepeilt haben, da dafür trigonometrische Funktionen benötigt werden, die an dieser Stelle noch nicht als bekannt angesetzt werden können. Deshalb werden wir hier auf die Trigonometrie verzichten und einen anderen Weg einschlagen.

Zeichnen wir zuerst die Situation auf (Bild durch Anklicken vergrößern):


Führen wir nun folgende Bezeichnungen ein:

a = |BC| = |AC| = 8 cm, c = |AB| = 6 cm

a_1 = |B'C'| = |AC'|, a_2 = |CC'|
c_1 = |AB'|, c_2 = |BB'|

d = 1 cm = Abstand von a || a_1


Da der Schenkel parallel verschoben wurde, hat sich der Basiswinkel bei B bzw. B' nicht geändert. Somit ist das Dreieck AB'C' ebenfalls gleichschenklig: |AC'| = |B'C'| = a_1.

Ausgehend vom Eckpunkt A können wir zwei Strahlen erkennen, die von parallelen Geraden geschnitten werden. Dies erlaubt uns Strahlensätze zu formulieren.

Der Ansatz hört sich gut an:
A_{kl Dreieck} = A_{gr Dreieck} - A_{Trapez}

Wie lauten die Formeln dazu?

Hallo Herr Ziebarth,

vielen Dank für die Antwort; nach längerem Probieren konnte ich jetzt die allgemeine Lösungsformel so wie im Buch angegeben herleiten. Manche Aufgaben sind durchaus etwas knifflig und erfordern eine gründliche Vorgehensweise. Ich habe die Länge von a_1 über die Ähnlichkeit der beiden Dreiecke bestimmt, also |AB'| : a_1 = |AB| : a. Die Länge von c_1 habe ich zuvor ebenfalls über Ähnlichkeit von zwei rechtwinkligen Dreiecken rechts unten ermittelt. Hier habe ich ebenfalls noch den Kathetensatz und den Höhensatz angewandt.
freundliche Grüße,
Michi

Hallo Michi,

>> Die Länge von c_1 habe ich zuvor ebenfalls über
>> Ähnlichkeit von zwei rechtwinkligen Dreiecken
>> rechts unten ermittelt. Hier habe ich ebenfalls
>> noch den Kathetensatz und den Höhensatz angewandt.

Interessante Strategie. Allerdings kann ich Dir nicht folgen :-(
Rechtwinklige Dreiecke sehe ich erst einmal keine. Es wären also Hilfslinien einzuzeichnen. Kannst Du bitte über "Datei anhängen" eine Skizze zu Deiner Vorgehensweise einfügen, damit ich Dir folgen kann?

Hallo Herr Ziebarth,

ich bin nach dieser Methode vorgegangen um die Länge von a_1 zu bestimmen. Gibt es noch einen einfacheren Weg über die Strahlensätze? Ich finde so keinen Weg da ich bei der Formulierung der Strahlensätze immer zwei unbekannte Größen habe?

Hallo Michi,
jetzt verstehe ich. Deine Variable z ist identisch mit meinem a_1. Der Wert für z lautet: z = 8 - 32/165 * w(55) ~ 6,56 cm. Jetzt sollte der Flächeninhalt kein Problem mehr sein.

Schöne Leistung :-)